根据《纽约公约》及相关国际条约规定，外国仲裁裁决的执行权通常由被申请执行地国家的法院行使。具体执行程序需符合该国国内法规定，通常由被执行人住所地或财产所在地的中级人民法院管辖（以中国为例）。

执行过程中，法院有权审查裁决是否符合公约规定的执行条件，但无权对实体裁决内容进行改判。若裁决存在公约第五条规定的拒绝执行情形（如程序不当、仲裁协议无效等），法院可裁定不予执行。