私下签订的收养协议可以进行公证，但需符合《中华人民共和国民法典》相关规定。公证处会审查协议内容是否合法，双方是否自愿，并核实收养人具备抚养能力。未经公证的私下协议可能存在法律风险，建议通过民政部门办理正规收养登记。