根据中国《刑法》规定，老赖（失信被执行人）借钱后故意不认账可能构成以下犯罪：

  1. 诈骗罪（刑法第266条）：如果借款时存在非法占有目的，虚构事实或隐瞒真相，可能构成诈骗罪。
  2. 拒不执行判决、裁定罪（刑法第313条）：若已被法院判决还款仍拒不履行，可能构成此罪。
  3. 合同诈骗罪（刑法第224条）：若通过虚假合同借款，可能构成合同诈骗。

具体需结合证据由司法机关认定。