员工未签订劳动合同但自动离职的处理方式如下：

  1. 确认劳动关系：通过工资记录、考勤、工作成果等证据证明事实劳动关系存在。
  2. 协商解决：优先与员工沟通，协商工资结算或补偿事宜。
  3. 法律途径：若协商无果，可申请劳动仲裁，要求确认劳动关系并主张双倍工资赔偿（未签合同情形下）。
  4. 风险防范：完善劳动合同管理制度，避免类似情况再次发生。

注意：根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月未签劳动合同，需支付双倍工资。