针对执行局不给予执行的情况，当事人可采取以下法律救济途径：

  1. 提出执行异议：根据《民事诉讼法》第232条，向执行法院提交书面异议申请，要求审查执行行为合法性。
  2. 申请复议：对异议裁定不服的，可在10日内向上一级法院申请复议。
  3. 检察监督：依据《民事诉讼法》第235条，向同级人民检察院申请执行监督。
  4. 信访申诉：通过法院信访渠道反映执行不作为问题，需附相关证据材料。

注意事项：所有申请需采用书面形式，并附执行依据文书复印件及身份证明文件。