在行政诉讼案件中，当事人起诉时的举证责任主要遵循以下规则：

  1. 被告的举证责任：根据《行政诉讼法》第三十四条，被告（行政机关）对作出的行政行为负有举证责任，应当提供作出该行政行为的证据和所依据的规范性文件。
  2. 原告的初步证明责任：原告需证明起诉符合法定条件（如具体行政行为存在、与自身有利害关系等），但不需要证明行政行为违法。
  3. 特殊情形举证：若原告主张被告不作为，需提供曾向被告提出申请的证据（被告应主动履职或原告因正当理由不能提供除外）。
  4. 损害事实举证：提起行政赔偿诉讼时，原告需对行政行为造成的损害事实提供证据。

举证期限一般为被告收到起诉状副本后15日内，原告或第三人在开庭前或法院指定的证据交换日提供。